Действительные числа. Действительные числа и действия с ними

Повторение неполной средней школы

Интеграл

Производная

Объемы тел

Тела вращения

Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат. Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах. Скалярное произведение векторов.

Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса.

Площадь поверхности конуса. Сфера и шар. Площадь сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости.

Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы, цилиндра. Объем пирамиды и конуса. Объём шара.

Раздел III. Начала математического анализа

Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Применение производной к исследованию функций Возрастание и убывание функции. Экстремумыфункции. Применение производной к построению графиков. Наибольшее, наименьшее значенияфункции.

Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и интеграл. Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов.

Учебно-тренировочные задания к экзаменам

Раздел I. Алгебра

Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}

Дополнением натуральных чисел нулём и отрицательными числами (т.е. числами, противоположными натуральным) множество натуральных чисел расширяется до множества целых чисел.

Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z. Можно сказать, что Z={1,2,3,....}. Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби , где m - целое число, а n - натуральное число.

Существуют рациональные числа, которые нельзя записать в виде конечной десятичной дроби, например . Если, например, попытаться записать число в виде десятичной дроби, используя известный алгоритм деления уголком, то получится бесконечная десятичная дробь . Бесконечную десятичную дробь называют периодической, повторяющуюся цифру 3 – её периодом. Периодическую дробь коротко записывают так: 0,(3); читается: «Ноль целых и три в периоде».

Вообще, периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, у которой начиная с некоторого десятичного знака повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби.

Например, десятичная дробь периодическая с периодом 56; читается «23 целых, 14 сотых и 56 в периоде».

Итак, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где - целое число, - натуральное число.

Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел – это .

Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание: множество натуральных чисел входит во множество целых чисел, множество целых чисел входит во множество рациональных чисел, а множество рациональных чисел входит во множество действительных чисел. Это высказывание можно проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Упражнения для самостоятельного решения

Действительные числа

Множество действительных чисел состоит из множества рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел R. Так же множество действительных чисел можно обозначить промежутком (-?; +?)

Замечание 1

Вспомним, что любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби, а любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби, значит будет верно следующее утверждение:

Множество конечных и бесконечных десятичных дробей составляют множество действительных чисел.

Геометрическая модель действительных чисел

Геометрической моделью действительных чисел является координатная прямая. Это связано с тем, что каждая точка числовой имеет координату, которая будет являться действительным числом.

Сравнение действительных чисел

Для того чтобы сравнить действительные числа , можно воспользоваться или геометрической моделью действительных чисел или провести сравнение аналитически.Рассмотрим данные способы.

Для того чтоюы сравнить два действительных числа, достаточно найти разность этих чисел и сравнить ее с нулем. Если разность будет положительна, то первое число(уменьшаемое разности) будет больше второго числа(вычитаемого разности); если же разность будет отрицательна, то наоборот

Пример 1

Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и $4$.

Решение. Для сравнения этих чисел составим и вычислим их разность

$\frac{18}{5} - 4 =\ \frac{18}{5}-\ \frac{20}{5}=-\frac{2}{5}$

для вычисления разности мы приводили данные числа к общему знаменателю, в данном случае общий знаменатель равен $5$. После этого используя правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем мы вычли из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставили прежним.

Теперь обратим вниманеи, что разность этих чисел получилась отрицательна, значит первое число(уменьшаемое) меньше второго(вычитаемого), т. е.

$\frac{18}{5}$ ‹ 4

Для того чтобы сравнить числа с помощью числовой прямой, надо определить местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам. То число, которое больше будет располагаться на координатной прямой правее, то, которое меньше левее

Пример 2

Сравнить числа $\frac{18}{5}$ и 4 с помощью координатной прямой

Решение. Для сравнения этих чисел сначала определим местоположение точек, координаты которых будут соответствовать сравниваемым действительным числам, т е числам $\frac{18}{5}$ и $4$.

Для этого сначала преобразуем неправильную дробь $\frac{18}{5}$ путем выделения целой части, тогда получим

\[\frac{18}{5}=3\frac{3}{5}\]

Теперь на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут соответственно равны $3\frac{3}{5}$ и $4$.

Рисунок 1.

Теперь становится очевидно, что точка с координатой 4 лежит правее чем точка с координатой $3\frac{3}{5}$ , значит число 4 больше чем $3\frac{3}{5}$ .

Мы видим, что вне зависимости от выбранного способа сравнения результат получен одинаковый.

С действительными числами можно осуществлять все арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. На практике часто, для того чтобы не допустить ошибку перед тем, как производить действия надо определить знаки исходных чисел, т.е. определить положительными или отрицательным является каждое из чисел

Сложение действительных чисел

Для того чтобы найти сумму действительных чисел с одинаковыми знаками, надо сложить модули этих чисел и перед полученной суммой поставить из общий знак.

Например, найдем сумму чисел $375$ и $863$. Очевидно, что оба числа положительны, тогда $375+863=/375/+/863/=1238$.Полученная сумма будет иметь знак $«+»$, т к оба числа имели этот общий знак, т.е. были положительны

Теперь найдем сумму чисел $-375$ и $-863$. Оба числа отрицательны, значит сумма будет так же иметь знак $«-»$

$-375+(-863)= - (/375/+/863/)= -1238$

Для того чтобы найти сумму чисел с разными знаками, надо из числа большего по модуля вычесть число меньшее по модулю и перед получившейся разностью поставить знак числа большего по модулю.

Например, найдем сумму чисел $-657$ и $343$. Сначала вычислим модули данных чисел

Теперь согласно правилу произведем дальнейший расчет

$657-343=314$, тогда

$-657+ 343= - 314$

При вычисления произведения чисел необходимо придерживаться следующих правил:

при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}$

Оба числа положительны, значит и произведение этих чисел будет положительным. Действительно $\sqrt{13}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{91}$

при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным

Например, найдем произведение $-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{6}{8}\right)=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}$

при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Вычислим частное $\frac{16}{5}$ и $(-4)$

$\frac{16}{5}$ : (-4)= = $\frac{16}{5\cdot 4}=-\frac{4}{5}$

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 46 Сложение действительных чисел

Пока что мы умеем складывать друг с другом лишь рациональные числа. Как мы знаем,

А вот какой смысл вкладывается в сумму двух чисел, из которых хотя бы одно иррационально, этого мы еще не знаем. Нам предстоит сейчас дать определение того, что понимается под суммой α + β двух произвольных действительных чисел α и β .

Для примера рассмотрим числа 1 / 3 и √2 . Представим их в виде бесконечных десятичных дробей

1 / 3 = 0,33333...;

√2 =1,41421... .

Сначала сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения, как отмечалось в конце предыдущего параграфа, представляют собой рациональные числа. А складывать такие числа мы уже умеем:

0+1 = 1
0,3+1,4= 1,7
0,33+1,41 = 1,74
0,333 + 1,414 = 1,747
0,3333 + 1,4142= 1,7475
0,33333 + 1,41421 = 1,74754
.................................................................

Затем сложим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:

1 +2 = 3
0,4+ 1,5 = 1,9
0,34+ 1,42= 1,76
0,334 + 1,415 = 1,749
0,3334 + 1,4143=1,7477
0,33334+ 1,41422= 1,74756
..........................................................

Можно доказать*, что существует и притом единственное действительное число γ , которое больше всех сумм десятичных приближений чисел 1 / 3 и √2 с недостатком, но меньше всех сумм десятичных приближений этих чисел с избытком:

* Строгое доказательство этого факта выходит за пределы нашей программы и потому здесь не приводится.

1 < γ < 3

1,7 < γ < 1,9

1,74 < γ < 1,76

1,747 < γ < 1,749

1,7475 < γ < 1,7477

1,74754 < γ < 1,74756

По определению это число γ и принимается за сумму чисел 1 / 3 и √2 :

γ = 1 / 3 + √2

Очевидно, что γ = 1,7475....

Аналогично может быть определена и сумма любых других положительных действительных чисел, из которых хотя бы одно иррационально. Суть дела не изменится и в том случае, если одно из слагаемых, а может быть, и оба будут отрицательными.

Итак, если числа α и β рациональны, то сумма их находится по правилу сложения рациональных чисел (см. § 36).

Если же хотя бы одно из них иррационально, то суммой α + β называется такое действительное число, которое больше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех сумм соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком .

Определенное таким образом действие сложения подчиняется следующим двум законам:

1) коммутативному закону:

α + β = β + α

2) ассоциативному закону:

(α + β ) + γ = α + (β + γ ).

Доказывать этого мы не будем. Учащиеся могут сделать это самостоятельно. Отметим лишь, что при доказательстве придется использовать уже известный нам факт: сложение рациональных чисел подчинено коммутативному и ассоциативному законам (см. § 36).

Упражнения

327. Данные суммы представить в виде десятичных дробей, указав не менее трех верных знаков после занятой:

а) √2 +√3 ; г) √2 + (- √3 ) ж) 3 / 4 + (-√5 );

б) √2 + 5 / 8 ; д) (- 1 / 3) + √5 з) 1 / 3 + √2 + √3 .

в) (-√2 ) + √3 ; е) 11 / 9 + (- √5 );

328. Найти несколько первых десятичных приближении (с недостатком и с избытком) для действительных чисел:

а) 1 / 2 + √7 б) √3 + √7 в) √3 + (-√7 )

329. Исходя из определения суммы действительных чисел, доказать, что для любого числа α

α + (- α ) = 0.

330. Всегда ли сумма двух бесконечных непериодических дробей есть дробь непериодическая? Ответ пояснить примерами.

В данной статье собраны основные сведения про действительные числа . Сначала дано определение действительных чисел и приведем примеры. Дальше показано положение действительных чисел на координатной прямой. А в заключение разобрано, как действительные числа задаются в виде числовых выражений.

Навигация по странице.

Определение и примеры действительных чисел

Действительные числа в виде выражений

Из определения действительных чисел понятно, что действительными числами являются:

любое натуральное число ;
любое целое число ;
любая обыкновенная дробь (как положительная, так и отрицательная);
любое смешанное число;
любая десятичная дробь (положительная, отрицательная, конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).

Но очень часто действительные числа можно видеть в виде , и т.п. Более того, сумма, разность, произведение и частное действительных чисел также представляют собой действительные числа (смотрите действия с действительными числами ). К примеру, - это действительные числа.

А если пойти дальше, то из действительных чисел с помощью арифметических знаков, знаков корня, степеней, логарифмических, тригонометрических функций и т.п. можно составлять всевозможные числовые выражения, значения которых также будут действительными числами. Например, значения выражений и есть действительные числа.

В заключение этой статьи заметим, что следующим этапом расширения понятия числа является переход от действительных чисел к комплексным числам .

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.